O campo dos sistemas dinâmicos nasceu da observação dos movimentos celestes e estuda a evolução de um sistema através do tempo, como o movimento de um pêndulo simples, em que uma bolinha massiva oscila de um lado para o outro em relação ao suporte. Um trabalho desenvolvido pelo professor Fábio Tal, do Instituto de Matemática, Estatística e Ciências da Computação (IME) da USP, apresenta um conjunto de passos que permite tratar sistemas dinâmicos do mais simples (com poucas variáveis, como o caso do pêndulo), e que aparentam comportamento caótico em simulações numéricas, mas para os quais ainda não havia uma prova matemática formal.
O estudo recorre à topologia, área considerada extensão da geometria, que estuda os objetos sem se importar com interferências de quando o espaço é esticado, torcido ou amassado; também chamada de “geometria da borracha”.
Usando uma descrição topológica do problema para facilitar a checagem de casos pelo computador, o trabalho apresenta um método geral de verificação de condições que implicam caos anular. O caos anular é um tipo de comportamento imprevisível que ocorre em sistemas cuja dinâmica pode ser representada sobre uma estrutura em forma de anel, com trajetórias que podem girar em diferentes sentidos e de maneira complexa.
Diferente da simulação, onde são fornecidas condições de um sistema e um algoritmo calcula numericamente os resultados, o trabalho usou Provas Assistidas por Computador e automatizou a verificação de uma lista de condições matemáticas que, se satisfeitas, implicam que o sistema é caótico.
Realizada em colaboração com Alejandro Passeggi, da Universidad de la República (Udelar), no Uruguai, a pesquisa intitulada Condições que implicam em caos anular foi publicada na Inventiones Mathematicae. Trata-se de uma das revistas mais prestigiadas da matemática mundial, estando entre as três principais publicações da área.
“O trabalho propõe novas condições para detectar o caos. A ideia é que elas sejam úteis em diversos sistemas conhecidos nos quais se sabe que parece haver caos, mas ainda não há uma prova”, explica Fábio Tal.
Caos não é acaso
Imagine duas situações praticamente idênticas. Uma diferença pequena demais para ser percebida nas condições iniciais pode crescer ao longo do tempo e levar os sistemas a caminhos completamente diferentes.
Um sistema pode obedecer rigorosamente a regras determinísticas e, ainda assim, apresentar um comportamento tão sensível a pequenas diferenças que se torna extremamente difícil prever sua trajetória. No caso de um sistema aleatório, o resultado não seria necessariamente determinado pelas condições iniciais, pois haveria uma dimensão probabilística.
Segundo o pesquisador, o sistema usado como exemplo no próprio estudo é determinístico – ou seja, dadas exatamente as condições iniciais, existe uma única trajetória possível. O que caracteriza o caos é o fato de pequenas diferenças iniciais somarem-se rapidamente, produzindo resultados muitos diferentes e imprevisíveis.
“Sempre fui muito interessado por sistemas dinâmicos em dimensões baixas. É fascinante como problemas muito simples, com poucas variáveis, podem apresentar comportamentos tão distintos”, afirma.
Dois exemplos de sistemas dinâmicos simples que podem apresentar comportamento caótico são o pêndulo duplo e o problema dos três corpos. O pêndulo duplo é um sistema com dois pêndulos, sendo um deles anexo ao extremo do outro. Apesar de simples, essa configuração produz um comportamento dinâmico complexo, com alta sensibilidade em torno das condições iniciais.
Já o problema dos três corpos é um enigma clássico da física que consiste em calcular o movimento e as trajetórias de três massas pontuais que se atraem mutuamente. Assim como no pêndulo duplo, pequenas variações nas posições iniciais geram resultados completamente diferentes.
A ciência do rigor
Parecer caótico não é suficiente. É nesse ponto que entra uma dificuldade para os pesquisadores: observar um sistema e vê-lo produzir trajetórias aparentemente caóticas não é o mesmo que demonstrar que ele é caótico. Simulações numéricas podem fornecer evidências, mas uma demonstração matemática exige mais. É justamente essa fronteira entre observar e provar que o trabalho de Passeggi e Tal procura explorar.
“O desafio não é apenas enxergar o caos, mas encontrar uma maneira de prová-lo”, afirma Fábio Tal.
O trabalho apresenta um “checklist” de condições finitas e, portanto, adequadas para provas auxiliadas por computador, para provar com rigor matemático que um sistema é caótico. Os pesquisadores desenvolveram uma cadeia de argumentos que cria condições matemáticas para substituir a impressão do caos por um teste rigoroso que leva a um “sim” ou “não”.
Fábio destaca que a abordagem utiliza principalmente topologia, ou seja, propriedades da estrutura e da forma do espaço, em vez de depender de cálculos complicados envolvendo derivadas. Esse método pretende ser computacionalmente mais simples de testar do que outros que usam informações que dependem de longos cálculos matemáticos.
Muito além de comprovações em exemplos específicos, a contribuição pretende criar um método geral de demonstração usando técnicas da topologia e da teoria de sistemas dinâmicos.
O estudo contou com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes). O pesquisador Fábio Tal também foi parcialmente financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp) e pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
O artigo Conditions implying annular chaos pode ser acessado neste link.
Matéria: | Jornal da USP.
